Downey等人(2007)证明了：存在一个可计算的有单位元素的交换环，其幂零根是Σ10-完全集；存在另一个可计算的有单位元素的交换环，其Jacobson根是Π20-完全集。本文进一步证明了：存在一个可计算的有单位元素的交换环，其幂零根是Σ10-完全集且其Jacobson根是Π20-完全集。此外，对于任意c.e.集A，都存在一个可计算的有单位元素的交换环使其幂零根与A图灵等价；对于任意Π20集B，都存在一个可计算的有单位元素的交换环使其Jacobson根与B图灵等价。
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