复微分几何与其应用

作者：莫毅明

来源：科学通报, 2022, 1-16.

• 单直纹射影流形
• 极小有理切线簇（VMRT）
• Cartan-Fubini原则
• 有界对称域
• Shimura簇
• 非寻常交集

《复微分几何与其应用》源自本人早期对有界对称域?的有限体积商空间XΓ:=?/Γ以及对偶Hermite紧型对称空间S的研究.本人解决广义Frankel猜想的论文揭示了极小有理切线簇（variety of minimal rational tangents, VMRT）对单直纹射影流形（X, K）的几何意义,与Hwang合作建立了一套通过VMRT结构π:C （X）→X与其万有族ρ:U→K发展出来的微分几何理论,用以解决包括有理齐性空间G/P的Ka¨hler形变刚性与Lazarsfeld问题等的经典难题,并建立了关于保持VMRT局部双全纯映照的Cartan-Fubini延拓原则,后来Hong和Mok（2010）以及Mok和Zhang（2019）又发展了非同维Cartan-Fubini延拓原则以及子VMRT结构的延拓理论,并且证明了Schubert与Schur刚性定理. VMRT理论同时提示了如何研究?的代数子簇Z??到XΓ的投影.运用Mok和Zhong关于有限体积完备K?hler流形的紧致化定理,本人证明了对秩等于1的任意格成立的AxLindemann定理.对于Shimura簇,即当Γ为算术格时, o-极小结构理论与Hodge理论提供了研究XΓ的非常有效的工具.在此等理论的技巧与研究成果的基础上,本人从复微分几何以及代数几何的视角与Pila及Tsimerman合作,成功证明了期待已久的Shimura簇上的Ax-Schanuel定理.后者与其多方面的推广,为数论里一系列猜想提供了强而有力的研究手段.