本文系统地表述量子力学的数学基础,讨论了线性内积空间、希尔伯特空间完备性、函数空间以及连续基表示,以及自伴算符、施图姆-刘维尔系统的本征值问题和自然边界条件等,并以量子力学具体对象为例,讨论了非正规奇点情形下的自然边界条件.这些条件不是附加的,而是薛定谔方程本身所具备的.