有限链环上准循环码

作者：李富林^*

来源：硕士, 合肥工业大学, 2009-04-01.

• Galois环
• 循环码
• 准循环码
• 准负循环码
• 汉明距离
• Gray映射

准循环码是循环码的非平凡推广。满足的Gilbert-Varshamov修正界的准循环码是渐进的好码,它与卷积码有着紧密的联系。近年来,准循环码应用于研究Turbo codes与Low-Density Parity Check(LDPC)码引起很大的兴趣,而Turbo codes与LDPC码是容量趋近码。二十世纪八十年代,由于一些高效的二元非线形码被发现是Z 4上线形码的Gray象,使得有限环上的编码理论获得巨大的突破。从此,有限环的编码引起广泛的注意。然而,环上准循环码的研究仍然十分有限。在这篇论文中,我们研究Galois环上准循环码的结构、计数及相关问题,也研究了上准循环码和有限域Fp上准循环码的关系。本文具体内容如下:1.证明了GR ( p s,n )上准循环码可分解为GR ( p s,n )的某一扩环上线形码的直积,得到了GR ( p s,n )上1-生成准循环码生成元的一般形式,定义了1-生成自由准循环码的概念,研究了GR ( p s,n )上一类1-生成自由准循环码的生成元和秩,并且给出了它和对偶码的等价条件,并研究了当p = 2时, GR ( 2 s,n )上的1-生成准负循环码和GR ( p s,n )上的准循环码有类似的结构性质。2.研究了Z ps上准循环码的模结构,证明了Z ps上长度n = ml,指标为l的准循环码与-模GR ( p s , l )[ x ]x m? 1的子模同构,定义了多生成自由准循环码的概念,得到1-生成自由准循环码和多生成自由准循环码的关系,确定了1-生成自由准循环码和多生成自由准循环码的秩,并给出了它们最小汉明距离下界。3.研究了GR ( p s,n )在Zps上自由基的对偶基是存在而且唯一的,证明了Z ps上以h(x)为校验多项式的1-生成准循环码和它的扩环的多项式代数GR ( p s , n )[ x ]x m? 1理想中的一类特别的元素存在一一映射,并建立了以h(x)为校验多项式的1-生成准循环码的计数公式。4.令R = Fp + uFp + + u kFp,定义了对于n = n1 ps,环R n1到环p kn1Fp上的Gray映射,给出了该映射的性质,并由此得出了R环上指数为p st ,长为n = n1 ps的准循环码与Fp上的准循环码一一对应,其中( )t | n1 , n1 , p = 1,从而环R上的准循环码可以看作Fp上的准循环码。