对一道2020年高考立体几何题的变式探究

作者：李昭平

来源：数学通讯, 2021, (06): 49-51.

<正>2020年高考全国Ⅰ卷理科第18题是:如图1,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=61/2/6DO.(Ⅰ)证明:PA⊥平面PBC;(Ⅱ)求二面角B-PC-E的余弦值.本题以圆锥为载体,跳出了过去常见的柱体模型,给人以耳目一新之感.第(Ⅰ)问考查线面垂直的判定,利用线线垂直证明即可,学生是比较熟悉的.第(Ⅱ)问,利用题中的垂直关系建立空间直角坐标系,分别算出平面PCB的法向量n和平面PCE的法向量m,利用公式cos<n,m>=n·m/|n|·|m|计算即可获得答案.此题虽然是常规题型,但立意新、结构新,内涵丰富,笔者对其进行初步的变式探究,结果如下,供参考.