保持凸组合映射及选择性量子测量的几何特征

作者：齐霄霏; 侯晋川^*

来源：中国科学:数学 , 2023, 53(12): 1769-1788.

• Hilbert空间
• 保持凸组合映射
• 量子态
• 量子测量

令H和K为复Hilbert空间,2≤dim H≤∞,S(H)为H上所有量子态(即迹为1的正迹类算子)构成的凸子集.本文讨论S(H)到S(K)∪{0}保持凸组合的映射的刻画问题以及与量子测量之间的联系,并证明映射Φ:S(H)→S(K)保持严格凸组合并将纯态映为纯态的充分必要条件是下列结论之一成立:(1)存在K上纯态σ0使得Φ(ρ)=σ0对于所有ρ∈S(H)都成立;(2)Φ是单射选择性量子测量映射或单射选择性量子测量映射与转置映射的复合,即存在单射有界线性算子M:H→K使得Φ(ρ)=(MρM*)/(Tr(MρM*))对于所有ρ∈S(H)成立,或Φ(ρ)=(MρtM*)/(Tr(MρtM*))对于所有ρ∈S(H)成立;(3)存在σ0,σ1∈S(K),其中σ0是纯态,使得Φ(Pur(H))={σ0},Φ(S(H))?[σ0,σ1),进而存在映射h:S(H)→[0,1)使得,对于任意ρ1,ρ2∈S(H)及任意t∈(0,1),都有h((1-t)ρ1+tρ2))=(1-s)h(ρ1)+sh(ρ2)对某个s∈(0,1)成立,并且Φ(ρ)=(1-h(ρ))σ0+hρ)σ1对于所有ρ∈S(H)都成立.特别地,情形(3)在H为有限维时不出现.最后,对于单量子比特系统即dim H=2的情形,给出从S(H)到S(K)∪{0}的保持凸组合并将纯态映为纯态或0的一般映射的刻画.以上结果揭示了选择性量子测量的几何特征.

• 单位
  数学学院; 太原理工大学; 山西大学