行列式的理论和应用是代数中的一个经典问题，矩阵的行列式是赋予矩阵的一个数，将矩阵的列向量视为变量，行列式可以视为列向量组的一个函数，其公理化定义为矩阵的性质推导和分析带来方便。基于行列式的公理定义，从公理出发，给出相关重要性质的详细推导，直接由性质研究线性方程组解的存在性和解的表达式。推导过程的简洁与性质间的关联，体现了公理化定义的优点。
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