本文主要考虑在完备黎曼流形上,在B akry-Emery型Ricci曲率有下界的条件下,讨论了下面两类抛物方程δu/δt=△Vu+au logu和（ΔV-δ/δt）u（x,t）+p（x,t）uβ（x,t）+q（x,t）u（x,t）=0正解的梯度估计,这里a,β∈R,ΔV（·）:=△+<V,▽（·）>.由于引入了ΔV,相应地在梯度估计证明的过程中用V-Laplace比较定理代替Laplace比较定理.作为梯度估计的应用,导出了Harnack不等式和Liouville定理.
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