有限p-幂零环及其所确定的有限p-群

作者：程正杰^*

来源：博士, 中国科学技术大学, 2008-03-01.

• 有限幂零环
• 有限p-群
• p-交换群
• 亚交换群
• 有限正则p-群
• 群的表示

全文分为三章.第一章及第二章介绍了有限p-群的基本知识.第三章讨论了有限正则少幂零环所确定的有限p-群.第三章的第一节定义了有限正则p-幂零环的概念,证明了任何有限p-幂零环都是某一有限正则p-幂零环的同态像,每一个有限p-幂零环R都以一种自然的方式对应着一个有限p-群R*,并且R的每一个理想都对应着R*的一个正规子群.利用有限正则少幂零环所确定的p-群的线性,我们能得到这类p-群的许多性质.定理3.26给出了它们的一个生成元和关系的刻画,定理3.27及3.28利用环的线性结构描述了这类p-群的中心及上下幂群列.第三节给出了一些由有限正则少幂零环所确定的p-交换群和亚交换群.而第四、五两节讨论了两类特殊的有限正则少幂零环所确定的有限p-群,指出了它们的一些有趣性质.第六节也是构造了一些有限正则p-幂零环,并证明了这些环所确定的有限p-群都是不可分解的且相互不同构,稍加改变这些有限正则p-幂零环便可得到许多不同的有限正则p-幂零环,有理由相信,它们所确定的有限p-群仍是不可分解的,且相互不同构.第七节给出了有限正则p-幂零环的两个Zp-表示,这一节我们还证明了任何有限p-群都同构于某—U(n,Zp)的子群；这表明利用矩阵方法研究有限p-群不仅是可能的,而且是有益的.第八节试图对有限正则p-幂零环的概念加以推广,以使更多的有限p-群被置于线性结构之下.第九节给出了一些有正则p-幂零环及其理想所确定的p5及p6阶群.第十节利用定理3.26中的生成元和关系构造了一些有限p-群.第十一节讨论了GL(n,Zpr)的sylow p-子群,证明了当(?)<p时,它们都是有限正则p-群.