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摘要
<正>《中等数学》第681号问题为:已知a,b,c为两两不同的实数,证明:(a-b/b-c-3)2+(b-c/c-a-3)2+(c-a/a-b-3)2≥29.命题人通过换元、配方等代数方法证明,具体过程如下:设a-b=x,b-c=y,c-a=-x-y,则原不等式等价于(x/y-3)2+(y/-x-y-3)2+(-x-y/x-3)2≥29■(x/y-3)2+(y/x+y+3)2+(y/x+4)2≥29.令t=x/y,于是只要证(t-3)2+(1/t+1+3)2+(1/t+4)2≥29■(t-3)2(t+1)2t2+(3t+4)2t2+(4t+1)2·(t+1)2≥29(t+1)2t2■(t3-2t2-5t-1)2≥0,这一不等式显然成立,从而结论得证.上述证明过程虽然简洁,但涉及到六次多项式的配方,计算量较大.笔者顺着上法给出的代数换元思路,对此题进一步研究,得到较简单的证明方法,并对其进行了推广探究.
