泰勒展开式,命题好源泉

作者：戚有建; 石青慧

来源：数学教学, 2021, (06): 41-44.

<正>1 问题的提出例1 (2010年全国卷理科21题)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时都有f(x)≥0,求实数a的取值范围.答案:(1)f(x)在(-∞,0)上递减;在(0,+∞)上递增;(2)a≤1/2.点评:命题者是如何想到函数f(x)=ex-1-x-ax2的呢?这个函数有什么背景?实际上命题背景是泰勒展开式ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+…,首先根据泰勒展开式得到不等式ex≥1+x+x2/2(x≥0),然后隐掉x2前面的系数1/2,改成求参数a的取值范围.