一道导数压轴题的多种解法

作者：廖东明

来源：高中生之友, 2018, (11): 29-30.

<正>例题(江西省红色七校2018届联考)已知函数f(x)=ex-ax2-bx。(1)当a>0,b=0时,讨论函数f(x)在区间(0,+∞)上零点的个数;(2)当b=a时,如果f(x)恰有两个不同的极值点x1,x2,证明:(x1+x2)/2<ln(2a)。(1)解法1(数形结合)当a>0,b=0时,函数f(x)在区间(0,+∞)上的零点的个数即方程ex=ax2根的个数。由ex=ax2可知a=ex/x2,令h(x)=ex/x2,则h’(x)=(xex(x-2))/((x2)2)=(ex(x-2))/x3,从而h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,又当x→0时,