关于三个数学问题的推广

作者：王永红; 庞耀辉

来源：中学数学研究, 2021, (08): 34-36.

<正>下面我们先证明如下引理:引理若a1,a2,…,an≥0(n∈N且n≥4),则4(a1a2+a2a3+…+ana1)≤(a1+a2+…+an)2.证明:设f(a1,a2,…,an)=4(a1a2+a2a3+…+ana1)-(a1+a2+…+an)2.下面用数学归纳法证明f(a1,a2,…,an)≤0.当n=4时,f(a1,a2,…,an)≤0等价于4(a1+a3)(a2+a4)≤(a1+a2+a3+a4)2,由均值不等式知,命题成立.假设当n=k(k≥4,k∈N)时命题成立.