针对鲁棒矩阵补全的加权幂分解方法

作者：涂剑凯; 李春光

来源：信号处理, 2023, 39(11): 1964-1977.

DOI：10.16798/j.issn.1003-0530.2023.11.006

• 矩阵补全
• 幂分解
• 稀疏优化
• 相关熵
• 交替梯度下降

矩阵补全旨在对部分观测的矩阵进行填充，在图像修复、推荐系统等领域有着十分广泛的研究。随着核范数启发式理论的提出，大量基于这一理论的方法被提出来更好地解决矩阵补全问题。其中一系列基于奇异值分解（SVD）的方法在求解矩阵补全问题中获得了较好的性能，但SVD的操作也带来了较大的计算复杂度。为了解决这一问题，幂分解（Power Factorization(PF)）模型被提出并应用于矩阵补全问题。基于PF的方法预先将矩阵分解为两个秩为r的矩阵的乘积，其也可以视为将矩阵分解为r个秩为1的矩阵分量的和。矩阵低秩特征自然地得到了满足，从而避免了SVD操作带来的高计算复杂度。然而，PF模型需要估计一个精确的秩参数r，这在现实中是困难的。并且它等价于给每一个秩1分量赋予相等的权重，这有可能会影响补全的性能。在本论文中，提出了一种加权PF(WPF)的模型来解决上述的两个问题。在构建WPF模型时，我们引入了一个带有稀疏约束的辅助变量，其目的有两个方面。第一，它可以区分不同秩1分量间的重要性并赋予不同的权重。第二，它可以定位一些不必要的秩1分量并将其摈弃。更进一步，考虑观测元素受到非高斯噪声污染的情况，我们结合信息论理论并利用相关熵来建模WPF模型以使其能够应对含非高斯噪声的矩阵补全问题。先用半二次（HQ）理论对WPF模型的建模进行转换，而后采用交替梯度下降（AGD）算法进行优化。利用仿真数据与真实图像数据上的实验结果验证了WPF方法的自动秩选择机制，并且在噪声环境下表明了WPF方法相比于基于SVD和PF的方法有更好的性能。此外，还探索了WPF在图像修复中的应用。

• 单位
  电子工程学院