基于双倍双精度施密特正交化方法的QR分解算法

作者：金洁茜; 谢和虎; 杜配冰; 全哲; 姜浩^*

来源：计算机科学, 2023, 50(06): 45-51.

• 施密特正交化算法
• QR分解
• 无误差变换
• 双倍双精度算法
• 舍入误差
• 浮点算术

当矩阵的规模较大或者条件数较高时，格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)正交化算法和其相关修正算法时常表现出数值不稳定性的现象。为了解决该问题，探索了修正Gram-Schmidt算法(MGS)中舍入误差的累积效应，然后基于无误差变换技术和双倍双精度算法，设计并实现了双倍双精度修正Gram-Schmidt正交化算法(DDMGS)。该算法的精度测试中显示所提算法较分块施密特正交化(BMGS＿SVL,BMGS＿CWY,BCGS＿PIP与BCGS＿PIO)的变体算法具有更好的数值稳定性，证明了DDMGS算法能够有效地减少矩阵的正交性损失，提升数值精度，展示了所提算法的可靠性。在算法的性能测试中，首先计算并比较了不同算法的浮点计算量(flops),随后将所提DDMGS算法与修正施密特正交化算法在ARM和Intel两款处理器上作比较，虽然DDMGS算法的运行时间分别是MGS的5.03倍和18.06倍左右，但获得了明显的精度提升效果。

• 单位
  国防科技大学; 西北核技术研究所; 湖南大学; 中国科学院数学与系统科学研究院