自伴对称锥上线性变换的性质

作者：李远敏^*

来源：硕士, 哈尔滨工业大学, 2008-06-01.

• 欧氏若当代数
• E-性质
• Lyapunov变换
• 线性互补问题
• 自同构不变性

利用欧氏若当代数技巧来研究线性互补问题( LCP )具有十分重要的意义.我们知道,一个方阵M被称为P-矩阵若它的所有主子式是正的,而且这个性质有很多的等价形式.Gowda把这些等价形式推广到了一般的欧氏若当代数中,引入了线性变换的P-性质、Q-性质、若当P-性质、阶P-性质以及正主子式性质等,并且讨论了它们之间的相互关系.在此基础上,我们提出了一般的欧氏若当代数上的线性变换的E-性质和E 0-性质,并且讨论了它们与P-性质、Q-性质以及正主子式性质的关系.另外,Gowda提出了代数自同构不变性与锥自同构不变性,并且证明了与若当积有关的性质是代数自同构不变的,与线性互补问题的解相关的性质是锥自同构不变的.在此基础上,我们进行了深入的研究,重点研究了E-性质、E 0-性质以及阶P-性质的代数自同构不变性.最后,设(V , ?, ? ,)是一欧氏若当代数, K是其平方锥.我们研究了一类比较具体的线性变换—Lyapunov变换La ,我们给出了La分别具有E-性质、Q-性质、R 0-性质以及正主子式性质的充要条件,还给出了一般的Lyapunov定理的互补形式.本文得出的结论如下(1)若线性变换L具有E 0-性质和R 0-性质,则L具有Q-性质.(2)若线性变换L具有E-性质,则L具有Q-性质.(3)若线性变换L具有正主子式性质,则L具有R 0-性质.(4)阶P-性质和E 0-性质在单欧氏若当代数中是代数自同构不变的.(5) E-性质在任一欧氏若当代数中是代数自同构不变的.(6) La具有Q-性质? La具有正主子式性质? a∈int( K).(7) La具有R 0-性质的充要条件是a可逆.(8) a∈int( K)的充要条件对?q∈int( K),都? x∈int( K)使( )La x = q.