一道质检题的解法探究及反思

作者：王佩成; 吴诚贵

来源：数学通讯, 2020, (18): 34-36.

<正>一、试题的解法探究题1 (2020年安徽"皖北协作区"高三联考理科数学第21题)已知函数f(x)=ax2-2lnx(a∈R).(1)当a=1时,证明:f(x)≥x-lnx;(2)是否存在不相等的正实数m,n满足m=n2,且f(m)=f(n)?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.分析(1)略;(2)由m=n2且f(m)=f(n)得:am2-2lnm=an2-2lnn,即am2-am-lnm=0,由于m,n为互不相等的正实根,故问题可以转化为方程ax2-ax-lnx=0①有不为1的正实根.