R~+上的Loomis型定理及其应用

作者：简伟刚; 丁惠生^*

来源：中国科学:数学 , 2023, 53(09): 1241-1252.

• 渐近概周期
• 遥远概周期
• Loomis定理
• Cauchy问题
• Carleman谱

20世纪60年代Loomis (1960)给出了一个经典的结果:R上有界且一致连续函数谱集的可数性意味着其具有概周期性.然而,对于R+上有界且一致连续的函数,即使其谱集是单点集,都不能保证其具有更弱的渐近概周期性.20世纪90年代末,Batty等(1998)给出了一个R+上的Loomis型定理:R+上完全遍历函数谱集的可数性意味着其具有渐近概周期性.对R+上不具有完全遍历性的函数,是否有Loomis型结果?近二十多年,这方面一直没有本质性进展.本文通过建立渐近概周期函数的Kadets型定理,得到一个R+上的Loomis型定理:R+上有界且一致连续函数谱集的离散性意味着其具有遥远概周期性(比渐近概周期性略弱).本文的Loomis型定理完全去掉了Batty等结果中的遍历性假设,从某种意义上也是经典Loomis定理在R+上的一个自然推广.并且,本文还将所得到的Loomis型定理应用到具有渐近概周期系.数的Schr?dinger方程,证明其仅存在更弱的遥远概周期解而没有渐近概周期解,从而说明对于某些偏微分方程,遥远概周期函数是其解的“自然函数类”这一有趣的现象.

• 单位
  豫章师范学院; 江西师范大学