非线性数量场方程基态能量的整体性态

作者：吴元泽; 王志强

来源：中国科学:数学 , 2022, 1-16.

• 数量场方程
• 基态能量
• 整体性态

本文研究p-Laplace型的非线性数量场方程并给出其基态能量整体性态的完整刻画.具体而言,令ε_(λ,q)(u)=1/p(‖▽u‖_p~p+λ‖u‖_p~p)-1/q‖u‖_q~q为W~(1,p)(R~N)中的能量泛函,其中,λ>0,1<p<N,p<q<p~*:=pN/(N-p),p~*是Sobolev临界指数.众所周知,ε_(λ,q)(u)有唯一的径向对称的山路解U_(λ,q).U_(λ,q)也是ε_(λ,q)(u)对应方程的基态解,其能量m(λ,q)被称为基态能量.本文证明,存在一个定义在[p,p~*]上的严格单调递减函数λ_0(q)满足λ_0(p)=1且λ_0(p~*)=0,使得当λ∈(0,λ_0(q))固定时,m(λ,r)作为r的函数在(p,q)内严格单调递增;当λ∈(λ_0(q),1)固定时,m(λ,r)作为r的函数在(q,p~*)内严格单调递增;当λ∈[1,+∞)固定时,m(λ,r)作为r的函数在(p,p~*)内严格单调递减.通过进一步建立幂次型数量场方程与对数型数量场方程的联系,本文给出λ_0(q)在q→p和q→p~*时的精确渐近行为.

• 单位
  数学学院; 中国矿业大学; 中国矿业大学（北京）