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摘要
拟共形映射起源于二十世纪三十年代,Grotzsch首次提出经典拟共形映射的定义,Ahlfors于1935年提出“拟共形”一词。自此之后,拟共形映射的研究开始备受数学家们关注,成为复分析的研究热点之一。拟共形映射能够很好地保持角度,在形状编辑等几何领域有着十分广泛的应用。但该类映射不易构造,在很多应用问题中常以优化的形式刻画,如何在具体应用中有效地构造并讨论拟共形映射的性质,是一个困难且重要的问题。针对该问题,本文提出一种新的思路,在一类简单的、易于求解和分析的双线性映射中构造拟共形映射,能够在平面变形问题中取得良好的效果。第一章介绍了常见的重心坐标和平面变形的经典方法,以及共形映射和拟共形映射的背景研究。第二章给定本文研究的数学环境,并介绍了复变函数及其导函数,双线性映射,拟共形映射的定义以及相关理论和极值拟共形映射和Teichmüller映射的相关概念,引出基于双线性映射的拟共形映射的构造问题。第三章针对平面上的双线性映射,讨论了其伸缩率的分布情况,精确求得极小值点,并证明了伸缩率的最大值一定在四边形区域的顶点上取得。相关结论为复杂区域之间的双线性映射构造提供了良好的理论基础。第四章给出伸缩率的最大值发生位置不同的数值实验,验证了结论的正确性和有效性。第五章对文章的研究过程和相关结论进行整体总结。
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