对“椭圆中由两垂直直线引出的‘包络’”再研究

作者：周雅俊

来源：中学数学研究, 2023, (02): 42-44.

<正>笔者在《椭圆中由两垂直直线引出的“包络”》一文中得到这样一个结论:在平面直角坐标系中，圆的方程是x2+y2=r2(r>0)，由点M(x0,y0)引两条相互垂直的动直线MP、MQ，这族直线PQ的包络线是一个椭圆，以原点O(0,0)和点M(x0,y0)为焦点，长轴长是槡2r2-x02-y02．在此基础上类比椭圆，提出过这样一个猜想:在平面直角坐标系中，椭圆的方程是■，由点M(x0,y0)■引两条相互垂直的动直线MP、MQ，与椭圆相交于P,Q两点，这族直线PQ的包络线是一个椭圆，其以M(x0,y0)和点■为焦点，长轴长是■．显然圆中的结论是椭圆的猜想的特殊情况，所以只需要证明椭圆中的猜想即可．这个猜想之所以难以证明，是因为所得的椭圆方程不是标准方程，由某个椭圆的标准方程变换得到也比较困难．再三探究，笔者翻看教材时，在椭圆的光学性质处得到启发，得以证明．整理成文与读者分享，不当之处期待方家的指正．